Question

8．若直线y=k（x+2）-3与曲线（|x|-1）²+（y-2）²=4有公共点，则k的取值范围是k≤-$\frac{5+2\sqrt{22}}{3}$或k≥3-$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$．

Answer 1

分析 直线y=k（x+2）-3过定点P（-2，-3），
曲线（|x|-1）²+（y-2）²=4表示圆（x-1）²+（y-2）²=4（x≥0），
与圆（x+1）²+（y-2）²=4（x＜0）的部分，、
利用图形求出直线与该曲线有公共点时k的取值范围．

解答 解：直线y=k（x+2）-3过定点P（-2，-3），
曲线（|x|-1）²+（y-2）²=4
表示圆（x-1）²+（y-2）²=4（x≥0），
与圆（x+1）²+（y-2）²=4（x＜0）的部分如图所示；
直线y=k（x+2）-3与曲线（|x|-1）²+（y-2）²=4有公共点，
计算点A（1，2）到直线kx-y+2k-3=0的距离为d=r=2，
则$\frac{|k-2+2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=3-$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$或k=3+$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$（不合题意，舍去）；
点B（-1，2）到直线kx-y+2k-3=0的距离为d=r=2，
即$\frac{|-k-2+2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=-$\frac{5+2\sqrt{22}}{3}$或k=$\frac{-5+2\sqrt{22}}{3}$（不合题意，舍去）；
∴k的取值范围是k≤-$\frac{5+2\sqrt{22}}{3}$或k≥3-$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$．
故答案为：k≤-$\frac{5+2\sqrt{22}}{3}$或k≥3-$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$．

点评 本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．