Question

2．设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$．
（1）求函数y=f（x）在[0，π]上的单调增区间；
（2）如果对于区间（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$）上的任意一个x，都有cos²（2x+φ）+asin（2x+φ）+2≥1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的图象的对称性求得φ可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）在[0，π]上的单调增区间．
（2）由题意可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈（0，1]，由g（x）=-${[sin（2x+\frac{π}{4}）-\frac{a}{2}]}^{2}$+3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，利用二次函数的性质，求得g（x）的最小值，可得a的范围．

解答 解：（1）由于函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$，
可得sin（2•$\frac{π}{8}$+φ）=±1，∴φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，又0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{4}$，故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
再根据x∈[0，π]，可得增区间为[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]．
（2）由题意可得当x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$）时，2x+$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{3π}{4}$），∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈（0，1]．
函数g（x）=cos²（2x+φ）+asin（2x+φ）+2=1-${sin}^{2}（2x+\frac{π}{4}）$+asin（2x+$\frac{π}{4}$）+2=-${[sin（2x+\frac{π}{4}）-\frac{a}{2}]}^{2}$+3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
①当$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$时，即a≤1时，则当sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1时，g（x）最小为a+2，
再根据g（x）的最小值大于或等于1，可得a+2≥1，求得a≥-1，故a的范围是[-1，1]．
②当$\frac{a}{2}$＞$\frac{1}{2}$时，则当sin（2x+$\frac{π}{4}$）趋于零时，g（x）趋于最小3，满足条件，故a的范围是（1，+∞）．
综上可得，a的范围是[-1，+∞）．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，函数的恒成立问题，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．