Question

15．如图，已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，∠BAD=∠ADC=90°．
（1）求直线PD与平面PAB所成角的大小；
（2）求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （1）说明∠DPA是直线PD与平面PAB所成的角，然后计算求解即可．
（2）通过V_B-PCD=V_P-BCD，以及V_P-BCD=$\frac{1}{3}×$S_△PCD×d，求出d，即可得到点B到平面PCD的距离．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，
又∵∠BAD=90°∴AD⊥平面PAB∴∠DPA是直线PD与平面PAB所成的角                  …3分，
∵$∠DPA=\frac{π}{4}$，所以直线PD与平面PAB所成的角为$\frac{π}{4}$     …6分
（2）∵V_B-PCD=V_P-BCD…8分
而V_P-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．             …10分
PD=$\sqrt{2}$，S_△PCD=$\sqrt{2}$，…12分
V_P-BCD=$\frac{1}{3}×$S_△PCD×d，所以d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即点B到平面PCD的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$  …14分．

点评 本题考查直线与平面市场价的求法，几何体的体积的应用，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．