Question

12．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，H分别为A₁B₁，B₁C₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥AH；
（Ⅱ）在棱D₁C₁上是否存在一点G，使得AG∥平面BEF？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，证明：$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BE}=0$，即可证明BE⊥AH；
（Ⅱ）设G（0，t，1），求出平面BEF的法向量，利用AG∥平面BEF，可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：建立如图所示空间直角坐标系D-xyz，设AB=1，
则A（1，0，0），B（1，1，0），$E（{1，\frac{1}{2}，1}）$，$H（{0，1，\frac{1}{2}}）$，
∴$\overrightarrow{AH}=（{-1，1，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{BE}=（{0，-\frac{1}{2}，1}）$，∵$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BE}=0$，∴BE⊥AH．
（Ⅱ）解：设G（0，t，1），则$\overrightarrow{AG}=（{-1，t，1}）$，$F（{\frac{1}{2}，1，1}）$，
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，∵$\overrightarrow{EF}=（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）$，$\overrightarrow{BF}=（{-\frac{1}{2}，0，1}）$，∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0\\-\frac{1}{2}x+z=0\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow n=（{2，2，1}）$，
∵AG∥平面BEF，∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow n$=（-1，t，1）•（2，2，1）=0，解得$t=\frac{1}{2}$，
∴当G是D₁C₁的中点时，AG∥平面BEF．

点评 本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查向量知识的运用，属于中档题．