Question

10．已知中心在坐标原点的椭圆C经过点A（2，3），且点F （2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的方程和离心率e；
（2）若平行于OA的直线l与椭圆有公共点，求直线l在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意c=2，设椭圆方程，将A代入椭圆方程，即可求得a的值，即可求得椭圆方程及离心率；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理△≥0，即可求得b的取值范围．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，c=2，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}=1$，
代入点A（2，3），$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{a}^{2}-4}=1$
解得：a²=16，则b²=12，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，离心率$\frac{1}{2}$；
（2）设直线l的方程y=$\frac{3}{2}$x+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+3bx+b²-12=0，
由△=（3b）²-12（b²-12）≥0，解得：-4$\sqrt{3}$≤b≤4$\sqrt{3}$，
直线l在y轴上的截距的取值范围[-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查判别式法的应用，考查计算能力，属于中档题．