Question

13．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=$\frac{π}{2}$，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；
（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．

解答 解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
∴∠AOB=$\frac{π}{6}$，…（2分）
∴AB=24sin$\frac{π}{12}$，OH=12cos$\frac{π}{12}$，
OE=DE=$\frac{1}{2}$AB=12sin$\frac{π}{12}$，
∴EH=OH-OE=12（cos$\frac{π}{12}$-sin$\frac{π}{12}$），
S=AB•EH=144（2sin$\frac{π}{12}$cos$\frac{π}{12}$-2sin²$\frac{π}{12}$）=72（$\sqrt{3}$-1）…（6分）
（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
则AB=24sin$\frac{θ}{2}$，OH=12cos$\frac{θ}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$AB=12cos$\frac{θ}{2}$，
∴EH=OH-OE=12（cos$\frac{θ}{2}$-sin$\frac{θ}{2}$），
S=AB•EH=144（2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$-2sin²$\frac{θ}{2}$）=144[$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）-1]，…（11分）
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即θ=$\frac{π}{4}$时，S_max=144（$\sqrt{2}$-1），此时A在弧MN的四等分点处．          …（14分）

点评 本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，比较基础．