Question

16．设$f（x）={sin^2}x-\sqrt{3}cosxcos（{x+\frac{π}{2}}）$，则f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的单调递增区间为[0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：$f（x）={sin^2}x-\sqrt{3}cosxcos（{x+\frac{π}{2}}）$=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴当k=0时，-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$，
即0≤x≤$\frac{π}{3}$，
即函数f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的单调递增区间为[0，$\frac{π}{3}$]，
故答案为：[0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查三角函数图象和性质的考查，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．