Question

18．在图所示的几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．
（1）证明：NE⊥平面PBD；
（2）求四棱锥B-CEPD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，令AC与BD交于点F，连接NF，推导出NE∥AC，求出PD⊥AC，AC⊥BD，由此能证明NE⊥平面PBD．
（2）四棱锥B-CEPD的体积${V_{B-CEPD}}=\frac{1}{3}{S_{梯形PDCE}}•BC$．由此能求出四棱锥B-CEPD的体积．

解答 证明：（1）连接AC，BD，令AC与BD交于点F，连接NF，
∵点N是中点，∴NF∥PD且$NF=\frac{1}{2}PD$．
又∵EC∥PD且$EC=\frac{1}{2}PD$，∴NF∥EC且NF=EC，
∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥AC，
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC．
∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∴NE⊥平面PBD．
解：（2）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD，
又∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE，∴BC是四棱锥B-PDCE的高，
∵PD=AD=2EC=2，
∴${S_{梯形PDCE}}=\frac{1}{2}（PD+EC）•DC=\frac{1}{2}×（2+1）×2=3$，
∴四棱锥B-CEPD的体积${V_{B-CEPD}}=\frac{1}{3}{S_{梯形PDCE}}•BC=\frac{1}{3}×3×2=2$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查柱、锥、台体的体积，考查空间想象能力与计算能力，考查推理论证能力，是中档题．