Question

9．已知函数f（x）=$\frac{x^2}{1+x^2}$，
（1）求f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）求证f（x）+f（$\frac{1}{x}$）是定值．

Answer 1

分析 （1）利用函数表达式，能求出f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$）的值．
（2）由f（x）=$\frac{x^2}{1+x^2}$，利用函数性质能证明f（x）+f（$\frac{1}{x}$）是定值1．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{x^2}{1+x^2}$，
∴f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{1+4}+\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}+\frac{1}{5}$=1，
f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{9}{1+9}+\frac{\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{9}{10}+\frac{1}{10}$=1．
证明：（2）∵f（x）=$\frac{x^2}{1+x^2}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1．
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）是定值1．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．