Question

已知函数f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与y轴垂直，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=e^x（ax²-2x+2ax-2-2）=e^x（ax-2）（x+2），从而令f′（2）=e²（2a-2）（2+2）=0解得；
（2）由（1）知，f′（x）=e^x（ax-2）（x+2），x∈（0，2]；从而可得f（x）的单调性，从而求最值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=e^x（ax²-2x+2ax-2-2）=e^x（ax-2）（x+2），
∴f′（2）=e²（2a-2）（2+2）=0，
∴a=1；
（2）f′（x）=e^x（ax-2）（x+2），x∈（0，2]；
∵a＞0，
∴当x∈（

2

a

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，

2

a

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
故当

2

a

≥2，即0＜a≤1时，f_min（x）=f（2）=e²（4a-6）；
当0＜

2

a

＜2，即a＞1时，f_min（x）=f（

2

a

）=-2e

2

a

．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．