Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足向量$\overrightarrow m$=（cosA，cosB），$\overrightarrow n$=（a，2c-b），$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
（I）求角A的大小；
（II）若a=2$\sqrt{5}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据平面向量的共线定理，利用正弦定理，即可求出A的值；
（2）根据余弦定理，利用基本不等式，即可求出三角形面积的最大值．

解答 解：（I）∵向量$\overrightarrow m$=（cosA，cosB），$\overrightarrow n$=（a，2c-b），$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
∴（2c-b）cosA=acosB，
由正弦定理得：（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
整理得2sinCcosA=sin（A+B）=sinC；
在△ABC中，sinC≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），故$A=\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理，cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又a=2$\sqrt{5}$，∴b²+c²-20=bc≥2bc-20，
得bc≤20，当且仅当b=c时取到“=”；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤5$\sqrt{3}$，
所以三角形面积的最大值为5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的共线定理和正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．