Question

（本题12分）已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.

(Ⅰ) 求四棱锥的体积；

(Ⅱ) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；

(Ⅲ) 若点为的中点，求二面角的大小.

Answer 1

解：(Ⅰ) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，

侧棱底面，且. ∴，

即四棱锥的体积为.             ………………………………4分

(Ⅱ) 不论点在何位置，都有.                            

证明如下：连结，∵是正方形，∴.          

∵底面，且平面，∴.       

又∵，∴平面.                        

∵不论点在何位置，都有平面. 

∴不论点在何位置，都有.        ………………………………8分

(Ⅲ) 在平面内过点作于，连结.

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

从而△≌△，∴.

∴为二面角的平面角.                           

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，              

∴，即二面角的大小为.  …………………12分