Question

14．若曲线f（x）=$\frac{a}{2}$x²-e^x不存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[0，e）．

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）=ax-e^x=0无实数解，即有a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求得导数和单调区间，求得极小值，结合图象即可得到a的范围．

解答 解：f（x）=$\frac{a}{2}$x²-e^x的导数为f′（x）=ax-e^x，
由f（x）不存在垂直于y轴的切线，
可得ax-e^x=0无实数解，
由a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，设g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
可得g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增；
当x＜0或0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0），（0，1）递减．
即有g（x）在x=1处取得极小值，且为e，
由于直线y=a与y=g（x）图象无交点，
可得0≤a＜e，
故答案为：[0，e）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，注意运用转化思想，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．