Question

14．已知tanα-$\frac{2}{tanα}$=1（π＜α＜$\frac{3π}{2}$）．
（1）求tanα的值；
（2）若sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，且β∈（0，$\frac{π}{2}$），求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得tan²α-tanα-2=0，解得方程结合π＜α＜$\frac{3π}{2}$可得；
（2）由（1）可得sinα=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$，由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，代入cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），计算可得．

解答 解：（1）∵tanα-$\frac{2}{tanα}$=1，∴tan²α-tanα-2=0，
解得tanα=-1或tanα=2，∵π＜α＜$\frac{3π}{2}$，∴tanα=2；
（2）由（1）可得sinα=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=-$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵β∈（0，$\frac{π}{2}$）且π＜α＜$\frac{3π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜α-β＜$\frac{3π}{2}$，
又∵sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，∴π＜α-β＜$\frac{3π}{2}$，
∴cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=$-\frac{1}{\sqrt{5}}×（-\frac{4}{5}）$+$（-\frac{2}{\sqrt{5}}）×（-\frac{3}{5}）$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．