Question

19．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，$\frac{1}{9}$）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）设幂函数f（x）=x^α，利用图象过点（3，$\frac{1}{9}$）求出α的值，即得解析式；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数，利用单调性定义即可证明．

解答 解：（1）设幂函数f（x）=x^α，其图象过点（3，$\frac{1}{9}$），
∴3^α=$\frac{1}{9}$，
解得α=-2，
∴f（x）=x^-2；
（2）函数f（x）=x^-2=$\frac{1}{{x}^{2}}$，在（0，+∞）上是单调减函数；
证明如下：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{{{{x}_{1}}^{2}x}_{2}}^{2}}$＞0，
f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）上的是单调减函数．

点评 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的单调性证明问题，是基础题目．