Question

14．已知函数f（x）=ax³+bx（x∈R）
（1）若函数f（x）的图象在x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求f（x）的解析式和单调区间；
（2）若a=1，且函数f（x）在区间[-1，1]上是减函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对函数f（x）进行求导，根据 f'（1）=0，f'（3）=24确定函数的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）将a=1代入函数f（x）后对函数进行求导，根据f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立转化为b≤-3x²在[-1，1]上恒成立求出b的值．

解答 解：（1）已知函数f（x）=ax³+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax²+b
又函数f（x）图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，
且函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x
令f′（x）=3x²-3≤0得：-1≤x≤1，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
所以函数在（-∞，-1）递增，在[-1，1]递减，在（1，+∞）递增；
（2）当a=1时，f（x）=x³+bx（x∈R），又函数f（x）在[-1，1]上是减函数
∴f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立
即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立∴b≤-3
当b=-3时，f′（x）不恒为0，∴b≤-3．

点评 本题主要考查函数的增减性与其导函数的正负的关系．属中档题．