Question

已知的定义域是[0，4]．

（1）若f（x）的极值点是x=3，求a的值；

（2）若f（x）是单峰函数，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）a=1或a=3．（2）[）．

【解析】

试题分析：（1）由，知f′（x）=x2﹣4ax+3a2，由f（x）的极值点是x=3，知f′（3）=9﹣12a+3a2=0，由此能求出a．

（2）f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣a）（x﹣3a），结合f（x）是单峰函数，分类讨论，能够求出a的取值范围．

【解析】
（1）∵，

∴f′（x）=x2﹣4ax+3a2，

∵f（x）的极值点是x=3，

∴f′（3）=9﹣12a+3a2=0，

解得a=1或a=3．

（2）∵f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣a）（x﹣3a），

①当a=0时，f′（x）=x2≥0在[0，4]内恒成立，

故f（x）不是单峰函数，

故a=0不成立；

②当a＜0时，由f′（x）＞0，得f（x）的增区间为（﹣∞，3a），（a，+∞），

由f′（x）＜0，得f（x）的减区间为（3a，a）

∵f（x）在[0，4]内是单峰函数，

∴，或，

无解．

③当a＞0时，由f′（x）＞0，得f（x）的增区间为（﹣∞，a），（3a，+∞），

由f′（x）＜0，得f（x）的减区间为（a，3a），

∵f（x）在[0，4]内是单峰函数，

∴或，

解得．

综上所述，a的取值范围是[）．