Question

19．在△ABC中，△ABC的外接圆半径为R，若C=$\frac{3π}{4}$，且sin（A+C）=$\frac{BC}{R}$•cos（A+B）．
（1）证明：BC，AC，2BC成等比数列；
（2）若△ABC的面积是1，求边AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据内角和定理、诱导公式、正弦定理化简已知的式子，即可证明BC，AC，2BC成等比数列；
（2）根据题意和三角形的面积公式列出方程，结合已知的方程求出a、b，根据余弦定理求出AB的值．

解答 证明：（1）∵A+B+C=π，sin（A+C）=$\frac{BC}{R}$•cos（A+B），
∴sinB=-2sinAcosC，
在△ABC中，由正弦定理得，b=-2acosC，即AC=-2BCcosC，
∵C=$\frac{3π}{4}$，∴AC=$\sqrt{2}$BC，则AC²=2BC²=BC•2BC，
∴BC，AC，2BC成等比数列；
解：（2）记角A、B、C的对边分别为a、b、c，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{2}}{4}ab=1$，则ab=2$\sqrt{2}$，
由（1）知，b=$\sqrt{2}$a，
联立两式解得a=$\sqrt{2}$，b=2，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC
=2+4+4$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=10，
∴AB=c=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，等比数列的证明，以及方程思想，考查化简、变形能力，属于中档题．