题目内容
5．已知an为（1+x）n+2的展开式中含xn项的系数，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为（ ）| A． | $\frac{（n+1）（n+2）}{2}$ | B． | $\frac{n（n+1）}{2}$ | C． | $\frac{n}{n+1}$ | D． | $\frac{n}{n+2}$ |
分析 利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于n，求出an；利用裂项求和求出数列的前n项和．
解答 解：∵Tr+1=Cn+2rxr，
∴an=Cn+2n=Cn+22=$\frac{（n+2）（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{（n+2）（n+1）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{n}{n+2}$，
故选：D
点评 本题考查二项展开式的通项公式；本题考查利用裂项求数列的前n项和．
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