Question

13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x．

Answer 1

分析 由双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$，的实轴长2a、虚轴长2、焦距长2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，成等差数列，4=2a+2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，求得a的值，求得双曲线方程，即可求得双曲线的渐近线方程．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$，的实轴长2a、虚轴长2、焦距长2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，成等差数列，
∴4=2a+2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，解得a=$\frac{3}{4}$．
双曲线$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{16}}-{y}^{2}=1$，
∴渐近线方程为：y=±$\frac{4}{3}$x．
故答案为：y=±$\frac{4}{3}$x．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，等差数列的性质，属于中档题．