Question

已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，f（x）递减，都有f（x）≥0，则a=f（2010），b=f（

5

4

），c=-f（

1

2

）的大小关系是（　　）

• A、b＜c＜a
• B、c＜b＜a
• C、a＜c＜b
• D、a＜b＜c

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由y=f（x）是偶函数，y=f（x+1）是奇函数可推断出=f（x）是周期为4的函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值，再利用单调性比较大小．

解答： 解：由y=f（x+1）是奇函数，得f（-x+1）=-f（x+1），
则令x取x+1代入上式得，f（-x）=-f（x+2），
∵y=f（x）是偶函数，∴f（x+2）=-f（-x）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的一个周期函数，
则a=f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=-f（0），
b=f（

5

4

）=f（-

3

4

+2）=-f（

3

4

），
c=-f（

1

2

），
∵0＜

1

2

＜

3

4

，且对任意0≤x≤1，f（x）递减，
∴f(0)＞f(

1

2

)＞f(

3

4

)，则-f(0)＜-f(

1

2

)＜-f(

3

4

)，
即a＜c＜b，
故选：C．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，利用奇偶性来研究函数的周期性，利用函数的单调性比较大小，在本题三数的大小比较中，利用函数的周期性把三数转化到一个单调区间上来比较函数值的大小，解题的关键是求出函数的周期．