题目内容

设n∈N^*，则C_n¹+C_n²6+C_n³6²+…+C_nⁿ6^n-1=________．

$\text{[math]}$ （7ⁿ-1）
分析：本题由于6的指数幂比组合数的所选数小1，故可以把整个式子乘以6后外面用 $\text{[math]}$ 补齐，由二项式定理展开式可知展开式中少C_n⁰项，故将其补写成二项式展开式的形式后再减去1，最后整理即可求出结果．
解答：C_n¹+C_n²6+C_n³6²+…+C_nⁿ6^n-1= $\text{[math]}$ （C_n⁰+C_n¹6¹+C_n²6²+C_n³6³+…+C_nⁿ_6ⁿ-C_n⁰）
= $\text{[math]}$ （C_n⁰+C_n¹6¹+C_n²6²+C_n³6³+…+C_nⁿ_6ⁿ）- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （1+6）ⁿ- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ 7ⁿ- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （7ⁿ-1）
故答案为 $\text{[math]}$ （7ⁿ-1）
点评：本题主要考查学生对二项式定理的灵活应用，主要检测学生的应变能力和对定理掌握的熟练程度．