Question

2．已知函数f（x）=（a-1）lnx-$\frac{1}{2}$x²，若?x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． （-∞，1]
• D． [-1，+∞）

Answer 1

分析 由不等式的f（x）的单调性，再求导，得到导函数恒大于等于0，再确定a的范围．

解答 解：∵x₁≠x₂，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
∴f（x）为增函数，
∵f（x）=（a-1）lnx-$\frac{1}{2}$x²，
∴f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a-1}{x}$-x=$\frac{a-1-{x}^{2}}{x}$，
f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥1+x²，
∴a≥1，
故选A．

点评 本题考查函数单调性的两种判定方法：定义法和导函数法．