Question

4．设动直线x=a与函数f（x）=2sin²x和$g（x）=\sqrt{3}sin2x$的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为3．

Answer 1

分析 用二倍角公式化简f（x），将|MN|表示成a的三角函数，
再化为正弦型函数，利用三角函数的有界性求出最大值．

解答 解：函数f（x）=2sin²x=1-cos2x，
函数$g（x）=\sqrt{3}sin2x$；
∴f（x）-g（x）=1-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x
=-2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+1
=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；
若直线x=a与函数f（x）和g（x）的图象分别交于M、N两点，
则|MN|=|f（a）-g（a）|=|-2sin（2a+$\frac{π}{6}$）+1|≤|2+1|=3，
∴|MN|的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了三角函数的二倍角公式、诱导公式以及三角恒等变换和正弦函数的有界性问题．