Question

4．已知△ABC的三个顶点在椭圆4x²+5y²=6上，其中A，B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率为k₁，直线BC的斜率为k₂．则k₁k₂的值为（　　）

• A． -$\frac{5}{4}$
• B． -$\frac{4}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 设A（x₀，kx₀），B（-x₀，-kx₀），C（m，n）及直线AB的方程y=kx，代入椭圆方程及斜率计算公式即可得出k₁k₂．

解答 解：设C（m，n），直线AB的方程为：y=kx，
可设：A（x₀，kx₀），B（-x₀，-kx₀），
4m²+5n²=6，$4{x}_{0}^{2}+5{k}^{2}{x}_{0}^{2}=6$，
∴$4{m}^{2}-4{x}_{0}^{2}=5{k}^{2}{x}_{0}^{2}-5{n}^{2}$，
k₁k₂=$\frac{k{x}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$•$\frac{-k{x}_{0}-n}{-{x}_{0}-m}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{{m}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{\frac{5}{4}×（{k}^{2}{x}_{0}^{2}-{n}^{2}）}$=-$\frac{4}{5}$，
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．