Question

11．已知函数f（x）=-2x²+ax+b且f（2）=-3．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x=1对称，求函数f（x）在区间[-2，3]上的值域；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上递减，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的对称轴与函数值求解a，b，然后通过二次函数的闭区间求解函数的最值即可．
（2）利用对称轴与二次函数的单调减区间的关系，列出不等式，以及函数值的关系，求解即可．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{4}=1\\-8+2a+b=-3\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-3\end{array}\right.$．
∴f（x）=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1，x∈[-2，3]．
∴f（x）_min=f（-2）=-19，f（x）_max=f（1）=-1．
∴函数f（x）在区间[-2，3]上的值域为[-19，-1]．
（2）∵函数f（x）在区间[2，+∞）上递减，
∴$\frac{a}{4}≤1⇒a≤4$．
又f（2）=-3，∴b=-2a+5，
∵a≤4，
∴b≥-3．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．