Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E，D，连接EC，CD．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）若tanE= ，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠OCA=∠OCB=90°，
∴OC⊥AB．
∴AB是圆O的切线；
（2）由ED为圆O的直径，得到∠ECD=90°，
在直角三角形中，根据三角函数定义得：tanE= =．
∵∠B=∠B，∠BCD=∠E，
∴△BCD∽△BEC，
∴==．
设BD=x，则BC=2x．
又BC²=BDBE，
∴（2x）²=x（x+6）．
解得x₁=0，x₂=2．
由BD=x＞0，
∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．