Question

9．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{3{x}^{2}}{20}$-$\frac{3{y}^{2}}{5}$=1
• D． $\frac{3{x}^{2}}{5}$-$\frac{{3y}^{2}}{20}$=1

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{a^2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，
∴c=$\sqrt{5}$，
∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2b，
∵c²=a²+b²，
∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．