Question

已知圆C：x²﹢y²+2x-3=0，直线l：x+y+t=0，若直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=

14

．
（1）求直线l在x轴上的截距；
（2）已知点A（2，1），若直线l与圆C相交于M，N两点，设直线MA的斜率为k_MA，直线MB的斜率为k_MB．问是否存在使k_MA•k_MB=2？若存在，求出实数t的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,直线与圆相交的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出圆心到直线l：x+y+t=0的距离，利用勾股定理，建立方程，求出t，即可求直线l在x轴上的截距；
（2）圆C：x²﹢y²+2x-3=0，直线l：x+y+t=0，消去y可得2x²+（2t+2）x+t²-3=0，利用韦达定理，结合斜率公式，利用k_MA•k_MB=2，即可得出结论．

解答： 解：（1）圆C：x²﹢y²+2x-3=0的圆心为（-1，0），半径为2，
圆心到直线l：x+y+t=0的距离为

|-1+t|

2

，
∵|MN|=

14

，
∴4-（

|-1+t|

2

）²=

14

4

，
∴t=2或0，
∴直线l：x+y+t=0，为x+y+2=0或x+y=0，
令y=0，可得直线l在x轴上的截距为-2或0；
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则
圆C：x²﹢y²+2x-3=0，直线l：x+y+t=0，消去y可得2x²+（2t+2）x+t²-3=0，
∴x₁+x₂=-（t+1），x₁x₂=

t2-3

2

，
∴y₁+y₂=-t+1，y₁y₂=

t2-2t-3

2

，
∵点A（2，1），
∴k_MA•k_MB=

y1-1

x1-2

•

y2-1

x2-2

=

y1y2-(y1+y2)+1

x1x2-2(x1+x2)+4

=

t2-2t-3 2 +t-1+1

t2-3 2 +2t+2+4

=2
∴t²+8t+21=0，
∴△=64-84=-20＜0，
∴不存在t，使k_MA•k_MB=2．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．