Question

如图，P是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上底面的中心，E是AB的中点，AB=

2

AA1．
（1）求证：A₁E∥平面PBC；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，分别写出直线所在的向量与平面的法向量，根据向量之间的运算得到两个向量的数量积为0，所以可得直线与平面平行．
（2）求出直线所在的向量与平面的法向量的夹角，再根据线面角与向量之间的夹角关系，得到线面角．

解答：解：为了计算方便不妨设AA₁=2，则AB=

2

，分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

所以A₁（

2

，0，1），E（

2

，

2

2

，0），A（

2

，0，0），B（

2

，

2

，0），C（0，

2

，0），P（

2

2

，

2

2

，1）．
所以

BC

=(-

2

，0，0)，

PB

=（

2

2

，

2

2

，-1），

A1E

=(0，

2

2

-1)，

PA

=(

2

2

，-

2

2

，-1)．
（1）设平面PBC的法向量为：

v

=(x，y，z)，则有

v •  BC =0 v • PB =0

，即

x=0 x+y- 2 z=0

，
不妨取z=1，则

v

=(0，

2

，1)，
所以

A1E

•

v

 =1-1=0，
所以

A1E

⊥

v

，
又因为A₁E?平面PBC，
所以A₁E∥平面PBC．
（2）由（1）可得平面PBC的法向量为：

v

=(0，

2

，1)，
所以|cos＜

v

，

PA

＞|=|

v • PA

| V || PA |

|= |

-2

6

|=

6

3

．
设直线PA与平面PBC所成角θ，
则sinθ=|cos＜

v

，

PA

＞|=

6

3

，
所以直线PA与平面PBC所成角的大小为arcsin

6

3

．

点评：本题主要可出利用向量运算证明线面平行于线面角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，建立空间直角坐标系，借助于向量的有关运算解决空间角、空间距离等问题．