Question

12．若f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）=f（x-1），当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-2，则f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）的值等于（　　）

• A． -$\frac{4}{3}$
• B． -$\frac{7}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x-1）化简后求出函数的周期，利用奇函数的性质、函数的周期性、对数的运算性质化简和转化f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24），代入已知的解析式由指数的运算性质求值即可．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
则函数f（x）的周期是2，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）=f（-$lo{g}_{2}^{24}$）=-f（$lo{g}_{2}^{24}$）
=-f（$lo{g}_{2}^{（8×3）}$）=-f（3+$lo{g}_{2}^{3}$）=-f（-1+$lo{g}_{2}^{3}$）
∵1＜$lo{g}_{2}^{3}$＜2，∴0＜-1+$lo{g}_{2}^{3}$＜1，
∵当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-2，
∴f（-1+$lo{g}_{2}^{3}$）=${2}^{-1+lo{g}_{2}^{3}}-2$=$\frac{3}{2}$-2=$-\frac{1}{2}$，
即f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$24）=$\frac{1}{2}$，
故选C．

点评 本题考查奇函数的性质，函数的周期性，以及指数、对数的运算性质的综合应用，考查转化思想，化简、变形能力．