Question

7．（1）若正数x，y满足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值；
（2）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件可得$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，可得3x+4y=$\frac{1}{5}$（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）（3x+4y），展开后，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值；
（2）运用基本不等式的变形，可得x+2y+2xy≤（x+2y）+（$\frac{x+2y}{2}$）²，令t=x+2y（t＞0），解不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）正数x，y满足x+3y=5xy，
即为$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，
可得3x+4y=$\frac{1}{5}$（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）（3x+4y）
=$\frac{1}{5}$（13+$\frac{3x}{y}$+$\frac{12y}{x}$）≥$\frac{1}{5}$（13+2$\sqrt{\frac{3x}{y}•\frac{12y}{x}}$）=5，
当且仅当x=2y=1，可得最小值为5；
（2）x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，
可得x+2y+2xy≤（x+2y）+（$\frac{x+2y}{2}$）²，
令x+2y=t（t＞0），
即有t+$\frac{{t}^{2}}{4}$-8≥0，解得t≥4，
当且仅当x=2y=2，可得x+2y取得最小值4．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．