Question

10．已知函数f（x）=ae^x-x-1，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线f（x）恒在直线y=x+1的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）问题即为a＞$\frac{2（x+1）}{{e}^{x}}$对?x∈R恒成立，令g（x）=$\frac{2（x+1）}{{e}^{x}}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=ae^x-1，
①a≤0时，ae^x-1＜0恒成立，
故f（x）在R递增；
②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜ln$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）递减，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）递增；
（2）由题意得：ae^x-x-1＞x+1对?x∈R恒成立，
即a＞$\frac{2（x+1）}{{e}^{x}}$对?x∈R恒成立，
令g（x）=$\frac{2（x+1）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{-2x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜0，令g′（x）＜0，解得：x＞0，
∴g（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减，
∴g（x）_max=g（0）=2，
故a＞2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．