Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调减区间
（3）当x∈[0，$\frac{π}{12}$]时，求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，求出φ，得到函数的解析式，即可得解．
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z即可解得f（x）的单调减区间．
（3）由$x∈[0，\frac{π}{12}]$，可求2x+$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解最大值．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵A＞0，ω＞0，
∴由图象知A=2，…（1分）
由于f（x）的最小正周期$T=4×（\frac{5π}{12}-\frac{π}{6}）=π$，故$ω=\frac{2π}{T}=2$，…（3分）
将点$（\frac{π}{6}，2）$代入f（x）的解析式得：$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，
又$|φ|＜\frac{π}{2}$，
可得：$φ=\frac{π}{6}$，…（5分）
故函数f（x）的解析式为：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．…（6分）
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，…（8分）
得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z，
所以减区间为：$[{\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ}]（{k∈Z}）$．…（10分）
（3）当$x∈[0，\frac{π}{12}]$时，可得：$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，…（12分）
所以当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，即$x=\frac{π}{12}$时，f（x）的最大值$\sqrt{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，解题时要注意函数的周期的求法，考查计算能力，是常考题型，属于基础题．