Question

如图，已知正四棱锥的底面边长为2，高为，P是棱SC的中点．

（1）求直线AP与平面SBC所成角的正弦值；

（2）求二面角B?SC?D大小的余弦值；

（3）在正方形ABCD内是否存在一点Q，使得平面SDC？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）直线AP与平面SBC所成角的正弦值为；（2）二面角B?SC?D大小的余弦值为?；（3）不存在满足条件的点Q.

【解析】

试题分析：（1）设正方形ABCD的中心为O，建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AP与面SBC所成的角的正弦值；（2）分别求出平面SDC的法向量和平面SBC的法向量，利用向量法能求出二面角B?SC?D；（3）设Q（x,y,0），则，若平面SDC,则//，由>1，点Q不在正方形ABCD内，故不存在满足条件的点Q.

试题解析：设正方形ABCD的中心为O,如图建立空间直角坐标系,则

A（1,?1,0），B（1,1,0），C（?1,1,0），D（?1,?1,0），S（0,0,），

因为P是SC的中点,所以P（?,,）.

（1），设平面SBC的法向量=（x1,y1,z1），则

,即，可取=（0, ,1），

所以cos<>==.

故直线AP与平面SBC所成角的正弦值为.

（2） 设平面SDC的法向量=（x2,y2,z2）,则

,即,可取=（?,0,1）,

所以cos<>==,

又二面角B?SC?D为钝角二面角,故二面角B?SC?D大小的余弦值为?.

（3）设Q（x,y,0）,则,

若平面SDC,则//,所以

,解得,

但>1,点Q不在正方形ABCD内,故不存在满足条件的点Q.

考点：与二面角有关的立体几何综合问题；直线与平面所成的角.