Question

6．设函数f（x）=1+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）≥|3x+1|的解集；
（2）若不等式f（x）-tx≥0的解集非空，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过对自变量x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，转化为相应的一元一次不等式，分别解之，最后取并即可求得不等式f（x）≥|3x+1|的解集；
（2）f（x）=1+|2x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x≥\frac{3}{2}}\\{4-2x，x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，作出y=f（x）与y=tx的图象，数形结合即可求得t的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=1+|2x-3|，
∴f（x）≥|3x+1|?1+|2x-3|≥|3x+1|；
当x≤-$\frac{1}{3}$时，1+3-2x≥-3x-1，解得-5≤x≤-$\frac{1}{3}$；
当-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{3}{2}$时，1+3-2x≥3x+1，解得-$\frac{1}{3}$＜x≤$\frac{3}{5}$；
当x≥$\frac{3}{2}$时，1+2x-3≥3x+1，解得x∈∅；
综上所述，不等式f（x）≥|3x+1|的解集为[-5，$\frac{3}{5}$]．
（2）由f（x）=1+|2x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x≥\frac{3}{2}}\\{4-2x，x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，作出y=f（x）与y=tx的图象，如下图所示：

由图知，y=f（x）的最小值点为A（$\frac{3}{2}$，1），
∵过原点的直线y=tx过点A时，t=$\frac{2}{3}$，与AC平行时，t=2，
∴-2≤t＜$\frac{2}{3}$时，y=f（x）与y=tx的图象无交点，
∴不等式f（x）-tx≥0的解集非空时，t的取值范围为：（-∞，-2）∪[$\frac{2}{3}$，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，突出考查等价转化思想与数形结合思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．