Question

20．已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，公比为q，数列{c_n}中，c_n=a_nb_n，S_n是数列{c_n}的前n项和，若S_m=7，S_2m=-201（m为正偶数），则S_4m的值为（　　）

• A． -1601
• B． -1801
• C． -2001
• D． -2201

Answer 1

分析 令A=S_m，B=S_2m-S_m，C=S_3m-S_2m，结合等差数列和等比数列的特征得到：B-q^m•A=（a_m+1-a₁）b_m+1+…+（a_2m-a_m）b_2m=md（b_m+1+…+b_2m）．
同理C-q^m•B=md（b_2m+1+…+b_2m）=md（b_m+1+…+b_2m）•qⁿ，故C-q^m•B=q^m（B-q^m•A）代值可得11（q^m）²+8q^m-208=0，求得q^m的值后，代入（S_4m-S_3m），从而求得S_4m的值．

解答 解：令A=S_m，B=S_2m-S_m，C=S_3m-S_2m，
则q^m•A=（a₁b₁+a₂b₂+…+a_mb_m）q^m=a₁b_m+1+…+a_mb_2m．
故B-q^m•A=（a_m+1-a₁）b_m+1+…+（a_2m-a_m）b_2m=md（b_m+1+…+b_2m），其中，d是数列{a_n}的公差，q数列{b_n}的公比．
同理C-q^m•B=md（b_2m+1+…+b_2m）=md（b_m+1+…+b_2m）•qⁿ，
故C-q^m•B=q^m（B-q^m•A）代值可得11（q^m）²+8q^m-208=0，
q^m=4或q^m=-$\frac{52}{11}$（舍去，因m为正偶数），
又S_4m-S_3m=（a₁b₁+a₂b₂+…+a_mb_m）q^3m+3md（b_m+1+…+b_2m）q^2m，
=11×4³+3（B-q^m•A）×4²，
=11×4³-3×12×4³，
=-1600．
故S_4m=S_3m-1600=-1801．
故选：B．

点评 该题考查等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，考查学生的运算求解能力，熟记相关公式是解题关键．