Question

14．设k是给定的正整数，对于满足条件a₁-a${\;}_{k+1}^{2}$=2的所有无穷等差数列{a_n}，a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值$\frac{k+1}{8}$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由a_k+1=a₁+kd，可得kd=a_k+1-a₁，又a₁=a${\;}_{k+1}^{2}$+2，利用等差数列的前n项和公式可得：a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1=（k+1）a_k+1+$\frac{k（k+1）}{2}$d=$\frac{k+1}{2}$$[-（{a}_{k+1}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{1}{4}]$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a_k+1=a₁+kd，∴kd=a_k+1-a₁，
又a₁=a${\;}_{k+1}^{2}$+2，
∴a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1=（k+1）a_k+1+$\frac{k（k+1）}{2}$d=（k+1）$（{a}_{k+1}+\frac{1}{2}kd）$=（k+1）$[{a}_{k+1}+\frac{1}{2}（{a}_{k+1}-{a}_{1}）]$=（k+1）$（\frac{3}{2}{a}_{k+1}-\frac{1}{2}{a}_{k+1}^{2}-1）$=$\frac{k+1}{2}$$[-（{a}_{k+1}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{1}{4}]$，
当且仅当a_k+1=$\frac{3}{2}$时，a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值为$\frac{k+1}{8}$．
故答案为：$\frac{k+1}{8}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题