Question

12．已知双曲线C的两条渐近线为l₁，l₂，过右焦点F作FB∥l₁且交l₂于点B，过点B作BA⊥l₂且交l₁于点A，若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），渐近线方程为l₁：y=$\frac{b}{a}$x，l₂：y=-$\frac{b}{a}$x，由x=c代入l₁的方程可得A的坐标；由两直线平行的条件可得直线FB的方程，联立直线l₂的方程可得B的坐标，再由BA⊥l₂，运用直线的斜率公式和垂直的条件：斜率之积为-1，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
渐近线方程为l₁：y=$\frac{b}{a}$x，l₂：y=-$\frac{b}{a}$x，
由题意可设F（c，0），由AF⊥x轴，
令x=c，代入l₁的方程可得y=$\frac{bc}{a}$，
即有A（c，$\frac{bc}{a}$），
过右焦点F作FB∥l₁且交l₂于点B，
由FB的方程y=$\frac{b}{a}$（x-c），联立直线l₂：y=-$\frac{b}{a}$x，
解得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$），
再由BA⊥l₂，可得k_AB=$\frac{a}{b}$，
即有$\frac{\frac{bc}{a}-（-\frac{bc}{2a}）}{c-\frac{c}{2}}$=$\frac{a}{b}$，
化为a²=3b²，由b²=c²-a²，可得：
c²=$\frac{4}{3}$a²，由e=$\frac{c}{a}$可得e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，直线平行和垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．