Question

12．设在椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=4sinφ}\end{array}\right.$ （φ为参数）上的两个动点P₁，P₂所对应的参数分别为φ₁，φ₂，且φ₁-φ₂=$\frac{π}{3}$，求线段P₁P₂的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 分别设出P₁（2cosφ₁，4sinφ₁），P₂（2cosφ₂，4sinφ₂），得到线段P₁P₂的中点M的轨迹的参数方程，消去参数得答案．

解答 解：设P₁（2cosφ₁，4sinφ₁），P₂（2cosφ₂，4sinφ₂），
线段P₁P₂的中点M（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=cos{φ}_{1}+cos{φ}_{2}①}\\{y=2（sin{φ}_{1}+sin{φ}_{2}）②}\end{array}\right.$，
由①得$x=2cos\frac{{φ}_{1}+{φ}_{2}}{2}cos\frac{{φ}_{1}-{φ}_{2}}{2}$，③
由②得$y=4sin\frac{{φ}_{1}+{φ}_{2}}{2}cos\frac{{φ}_{1}-{φ}_{2}}{2}$，④
∵φ₁-φ₂=$\frac{π}{3}$，
∴由③得$x=\sqrt{3}cos\frac{{φ}_{1}+{φ}_{2}}{2}$，⑤
由④得$y=2\sqrt{3}sin\frac{{φ}_{1}+{φ}_{2}}{2}$，⑥
消去参数得：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、同角三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．