Question

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求tan2A；
（2）若cosB=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，c=2\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据同角的三角函数关系，结合正切函数的倍角公式进行求解，
（2）根据两角和差的正弦公式结合正弦定理以及三角形的面积公式进行求解．

解答 解：（1）∵$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则$tanA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$tan2A=\frac{2tanA}{{1-{{tan}^2}A}}=2\sqrt{2}$-------------------------（5分）
（2）∵$cosB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，∴$sinB=\frac{1}{3}$，
则$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
由正弦定理得$a=\frac{csinA}{sinC}=2$，
所以△ABC的面积为$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$---------------（12分）

点评 本题主要考查正弦定理和三角形面积的计算，以及两角和差的正弦公式的计算，考查学生的计算能力．