Question

16．设A为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF．若∠ABF∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
• B． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$
• C． $[{0，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$
• D． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$

Answer 1

分析 设左焦点为：N．连接AF，AN，AF，BF，可得：四边形AFNB为矩形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a．
∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα，e=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，根据α的取值范围即可得出．

解答 解：设左焦点为：N．连接AF，AN，AF，BF，可得：四边形AFNB为矩形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a．
∠ABF=α，则：∠ANF=α．
∴2a=2ccosα+2csinα
∴e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
α=∠ABF∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，∴$（α+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}]$，
∴$sin（α+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$．
∴e∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{6}}{3}]$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．