Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin(2x-

π

6

)-2cos²x．
（1）求函数f（x）的值域及最小正周期；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，易得值域和最小正周期；
（2）分别解不等式2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

和2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得单调递增、减区间．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin(2x-

π

6

)-2cos²x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-2cos²x
=

3

sin2x-（1+cos2x）=

3

sin2x-cos2x-1
=2sin（2x-

π

6

）-1
∴函数f（x）的值域为[-3，1]，
最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

可解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
∴函数y=f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）

点评：本题考查三角函数的单调性和值域，涉及三角函数公式的应用，属基础题．