Question

17．已知集合A={x|x²-x-12＜0}，集合B={x|x²+2x-8＞0}，集合C={x|x²-4ax+3a²＜0}（a＞0）．
（Ⅰ）求 A∩（∁_RB）；
（Ⅱ）若C?（A∩B），试确定正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简集合A、B，根据交集与补集的定义进行计算即可；
（Ⅱ）根据交集与子集的定义，得出关于a的不等式组，求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意得，集合A={x|x²-x-12＜0}={x|-3＜x＜4}，
集合B={x|x²+2x-8＞0}={x|x＜-4或x＞2}，
∴∁_RB={x|-4≤x≤2}；
∴A∩（∁_RB）={x|-3＜x≤2}；
（Ⅱ）由题意，A∩B={x|2＜x＜4}，
当a＞0时，集合C={x|x²-4ax+3a²＜0}={x|a＜x＜3a}，
由C?（A∩B），得$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥4}\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}$≤a≤2，
∴实数a的取值范围是：$\frac{4}{3}$≤a≤2．

点评 本题考查了交集与补集以及子集的定义和应用问题，是基础题目．