Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≤0}\\{ln（x+1），x＞0}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax-1恒成立，则a的取值范围[-4，0]．

Answer 1

分析 首先在坐标系中作出函数y=|f（x）|的图象，不等式恒成立等价于函数y=|f（x）|的图象恒在函数y=ax-1的图象的上方，由图象即可得到结果．

解答 解：在坐标系中作出函数y=|f（x）|的图象，
如图，不等式恒成立等价于函数y=|f（x）|的图象恒在函数y=ax-1的图象的上方，
当直线y=ax-1与函数y=|f（x）|的图象相切时可求得k的临界值，
又当x≤0时，y=|f（x）|=x²-2x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x}\\{y=ax-1}\end{array}\right.$消去y得：
x²-（2+a）x+1=0，令△=（a+2）²-4=0，可得：a=-4，或a=0（舍），
即此时直线的斜率为-4，由图象可知，当不等式很成立时，
a的取值范围是：[-4，0]．
故答案为：[-4，0]．

点评 本题考查函数中的恒成立问题．解决此类问题通常利用数形结合的思想方法或者转化为求函数最值问题．数形结合更加直观．属于中档题．