Question

5．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，过焦点（0，2）的直线l与椭圆交于M，N两点，点A坐标为（0，$\frac{9}{2}$），$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MN}$=0，则直线l斜率为（　　）

• A． ±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． ±$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． ±$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求出以AF为直径的圆的方程，与椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1联立，求出N的坐标，利用斜率公式可得结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MN}$=0，点A坐标为（0，$\frac{9}{2}$），F（0，2），
∴以AF为直径的圆的方程为x²+（y-$\frac{13}{4}$）²=$\frac{25}{16}$，
与椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1联立，得5-$\frac{5}{9}$y²+（y-$\frac{13}{4}$）²=$\frac{25}{16}$，
即8y²-117y+252=0，
∴y=$\frac{21}{8}$（另一根舍去），
∴x=±$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
∴N（±$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，$\frac{21}{8}$）
∴直线l斜率为$\frac{\frac{21}{8}-2}{±\frac{5\sqrt{3}}{8}}$=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查圆的方程，考查圆与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确求出N的坐标是关键．