题目内容

（1）当k∈N^时，求证： $数学公式$ 是正整数；
（2）试证明大于 $数学公式$ 的最小整数能被2ⁿ⁺¹整除（n∈N）

（1）证明：根据二项式定理可得：（1+ $\text{[math]}$ ）^k的展开式的通项为T_r+1=C_k^r•（ $\text{[math]}$ ）^k-r，（1- $\text{[math]}$ ）^k的展开式的通项为T_r+1=C_k^r•（-1）^k-r•（ $\text{[math]}$ ）^k-r；
则 $\text{[math]}$ 的第r+1项可以用C_k^r•[（ $\text{[math]}$ ）^k-r+（-1）^k-r•（ $\text{[math]}$ ）^k-r]表示；
当k-r为奇数时，C_k^r•[（ $\text{[math]}$ ）^k-r+（-1）^k-r•（ $\text{[math]}$ ）^k-r]=0，当k-r为偶数时，C_k^r•[（ $\text{[math]}$ ）^k-r+（-1）^k-r•（ $\text{[math]}$ ）^k-r]=2C_k^r•（ $\text{[math]}$ ）^k-r，是正整数，
因此 $\text{[math]}$ 是正整数；
（2）大于 $\text{[math]}$ 的最小整数为 $\text{[math]}$
因为-1＜1- $\text{[math]}$ ＜0，所以0＜（1- $\text{[math]}$ ）²ⁿ＜1，
即（1+ $\text{[math]}$ ）²ⁿ加上此小数为一个正整数．因此大于（1+ $\text{[math]}$ ）²ⁿ的最小整数为 $\text{[math]}$ ．
记a= $\text{[math]}$ ，则a²=3，由二项式展开，正负相消得
（1+ $\text{[math]}$ ）²ⁿ+（1- $\text{[math]}$ ）²ⁿ=（1+3+2a）ⁿ+（1+3-2a）ⁿ=2ⁿ[（2+a）ⁿ+（2-a）ⁿ]=2ⁿ⁺¹[2ⁿ+2^n-23•C_n²+…]
因此能被2ⁿ⁺¹整除．
分析：（1）利用二项式定理对（1+ $\text{[math]}$ ）^k和（1- $\text{[math]}$ ）^k展开，求出 $\text{[math]}$ 的第r+1项可以用C_k^r•[（ $\text{[math]}$ ）^k-r+（-1）^k-r•（ $\text{[math]}$ ）^k-r]表示，对k-r分奇偶讨论，即可证明结论；
（2）根据-1＜1- $\text{[math]}$ ＜0，求出大于 $\text{[math]}$ 的最小整数为 $\text{[math]}$ ，然后利用二项式定理展开即可证明结论．
点评：本题是中档题．考查二项式定理的应用，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力．