题目内容
8．若x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-3≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，则z=（x-2）2+（y-3）2的取值范围是[$\frac{32}{5}，13$]．分析 由约束条件作出可行域，再由z=（x-2）2+（y-3）2的几何意义，即可行域内的动点与定点P（2，3）距离的平方求得答案．
解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-3≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$作出可行域如图，
z=（x-2）2+（y-3）2的几何意义为可行域内的动点与定点P（2，3）距离的平方．
由图可知，最小值为P到直线x+3y-3=0的距离的平方，等于$（\frac{1×2+3×3-3}{\sqrt{10}}）^{2}=\frac{32}{5}$；
最大值为$|OP{|}^{2}=（\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}）^{2}=13$．
∴z=（x-2）2+（y-3）2的取值范围是[$\frac{32}{5}，13$]．
故答案为：[$\frac{32}{5}，13$]．
点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
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