Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，

①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A、B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

 

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）①；②.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用椭圆中的相关定义和方程，可知.由，即可求出求解a，b，进而求得标准方程．（Ⅱ）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，通过消元，转化为一元二次方程去解决.①设，直线的方程为， 代入，得 由，解得，由韦达定理得. 四边形的面积，可知当，.②当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为，则的斜率为，的直线方程为，将其与椭圆方程联立整理得 ，可得

同理的直线方程为，可得，，，化简即可求得的斜率为定值.

试题解析：【解析】
(1）设椭圆的方程为，则.由，得

∴椭圆C的方程为.

（2）①【解析】
设，直线的方程为， 代入，

得

由，解得

由韦达定理得. 四边形的面积

∴当，. …… 4分

②【解析】
当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为

则的斜率为，的直线方程为 由

（1）代入（2）整理得

同理的直线方程为，可得

∴

所以的斜率为定值. …………12分.

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的简单性质．