Question

12．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数且|φ|＜π，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），求
（1）求f（x）的单调递增区间．
（2）求f（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（$\frac{π}{6}$）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），求出φ的值，再根据正弦函数求出单调区间；
（2）根据题意，令f（x）=0求出方程的解即可．

解答 解：（1）若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，
则f（$\frac{π}{6}$）等于函数的最大值或最小值，
即2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），即sinφ＜0，
令k=-1，此时φ=-$\frac{5π}{6}$，满足条件sinφ＜0，
令2x-$\frac{5π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
解得x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]．
则f（x）的单调递增区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{3π}{3}$]．
（2）由（1）知，函数f（x）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$），
令f（x）=0，得2x-$\frac{5π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z；
∴函数f（x）的零点为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的单调性，其中解答本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值．